Para resolver essa questão, vamos usar a relação entre a altura, a hipotenusa e as projeções dos catetos em um triângulo retângulo. 1. Dados do problema: - Altura (h) = 1,2 cm - Hipotenusa (c) = 2,5 cm 2. Fórmula da área do triângulo: A área (A) de um triângulo retângulo pode ser calculada de duas maneiras: - Usando a altura e a hipotenusa: \( A = \frac{1}{2} \times c \times h \) - Usando os catetos: \( A = \frac{1}{2} \times a \times b \), onde \( a \) e \( b \) são os catetos. 3. Calculando a área: \[ A = \frac{1}{2} \times 2,5 \times 1,2 = 1,5 \text{ cm}^2 \] 4. Projeções dos catetos: As projeções dos catetos sobre a hipotenusa são dadas por: - \( m = \frac{a^2}{c} \) - \( n = \frac{b^2}{c} \) 5. Relação entre as projeções: A razão \( \frac{m}{n} \) pode ser expressa como: \[ \frac{m}{n} = \frac{\frac{a^2}{c}}{\frac{b^2}{c}} = \frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2 \] 6. Usando a relação entre a altura e os catetos: A altura também pode ser expressa em termos dos catetos: \[ h = \frac{a \cdot b}{c} \] Portanto, \( 1,2 = \frac{a \cdot b}{2,5} \) implica que \( a \cdot b = 1,2 \times 2,5 = 3 \). 7. Usando a relação pitagórica: Sabemos que \( a^2 + b^2 = c^2 \): \[ a^2 + b^2 = (2,5)^2 = 6,25 \] 8. Sistema de equações: Agora temos: - \( a \cdot b = 3 \) - \( a^2 + b^2 = 6,25 \) Podemos resolver esse sistema para encontrar \( a \) e \( b \). 9. Resolvendo: Usando \( b = \frac{3}{a} \) na segunda equação: \[ a^2 + \left(\frac{3}{a}\right)^2 = 6,25 \] \[ a^2 + \frac{9}{a^2} = 6,25 \] Multiplicando por \( a^2 \): \[ a^4 - 6,25a^2 + 9 = 0 \] Seja \( x = a^2 \): \[ x^2 - 6,25x + 9 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{6,25 \pm \sqrt{(6,25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{6,25 \pm \sqrt{39,0625 - 36}}{2} \] \[ x = \frac{6,25 \pm \sqrt{3,0625}}{2} \] \[ x = \frac{6,25 \pm 1,75}{2} \] Portanto, \( x_1 = 4 \) e \( x_2 = 2,25 \). 10. Encontrando \( a \) e \( b \): - Se \( a^2 = 4 \), então \( a = 2 \) e \( b = \frac{3}{2} \). - Se \( a^2 = 2,25 \), então \( a = 1,5 \) e \( b = 2 \). 11. Calculando \( \frac{m}{n} \): - Para \( a = 2 \) e \( b = 1,5 \): \[ \frac{m}{n} = \left(\frac{2}{1,5}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \] Portanto, a razão \( \frac{m}{n} \) é \( \frac{16}{9} \).