A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12 m. Se a hipotenusa mede 25 m, calcule os catetos.

Para resolver essa questão, podemos usar a relação entre a altura, a hipotenusa e os catetos em um triângulo retângulo. A altura relativa à hipotenusa (h) é dada pela fórmula: \[ h = \frac{a \cdot b}{c} \] onde: - \( a \) e \( b \) são os catetos, - \( c \) é a hipotenusa. Sabemos que: - \( h = 12 \) m, - \( c = 25 \) m. Substituindo na fórmula, temos: \[ 12 = \frac{a \cdot b}{25} \] Portanto: \[ a \cdot b = 12 \cdot 25 \] \[ a \cdot b = 300 \] (1) Além disso, sabemos que: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ a^2 + b^2 = 25^2 \] \[ a^2 + b^2 = 625 \] (2) Agora, temos um sistema de duas equações (1) e (2). Para resolver, podemos expressar \( b \) em termos de \( a \): \[ b = \frac{300}{a} \] Substituindo na equação (2): \[ a^2 + \left(\frac{300}{a}\right)^2 = 625 \] Multiplicando tudo por \( a^2 \) para eliminar a fração: \[ a^4 - 625a^2 + 90000 = 0 \] Vamos fazer uma substituição: \( x = a^2 \). Assim, a equação se torna: \[ x^2 - 625x + 90000 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1, b = -625, c = 90000 \): \[ x = \frac{625 \pm \sqrt{625^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90000}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{625 \pm \sqrt{390625 - 360000}}{2} \] \[ x = \frac{625 \pm \sqrt{30625}}{2} \] \[ x = \frac{625 \pm 175}{2} \] Calculando as duas possibilidades: 1. \( x = \frac{800}{2} = 400 \) → \( a^2 = 400 \) → \( a = 20 \) 2. \( x = \frac{450}{2} = 225 \) → \( b^2 = 225 \) → \( b = 15 \) Portanto, os catetos são: - \( a = 20 \) m - \( b = 15 \) m Assim, os catetos do triângulo retângulo medem 20 m e 15 m.