Para determinar a equação da hipérbole centrada na origem com um foco no ponto \((10,0)\) e cuja excentricidade é igual a 3, precisamos usar algumas propriedades da hipérbole. 1. Foco e Excentricidade: A distância do centro até o foco (c) é 10, pois o foco está em (10,0). A excentricidade (e) é dada como 3. A relação entre a excentricidade, a distância do centro até o foco e a distância do centro até o vértice (a) é dada por: \[ e = \frac{c}{a} \] Portanto, temos: \[ 3 = \frac{10}{a} \implies a = \frac{10}{3} \] 2. Cálculo de b: Para a hipérbole, a relação entre a, b e c é dada por: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Substituindo os valores: \[ 10^2 = \left(\frac{10}{3}\right)^2 + b^2 \] \[ 100 = \frac{100}{9} + b^2 \] \[ b^2 = 100 - \frac{100}{9} = \frac{900}{9} - \frac{100}{9} = \frac{800}{9} \] 3. Equação da Hipérbole: A equação da hipérbole centrada na origem com abertura horizontal é dada por: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Substituindo os valores de \(a^2\) e \(b^2\): \[ a^2 = \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{100}{9}, \quad b^2 = \frac{800}{9} \] Portanto, a equação fica: \[ \frac{x^2}{\frac{100}{9}} - \frac{y^2}{\frac{800}{9}} = 1 \] Multiplicando por 9 para simplificar: \[ 9 \cdot \frac{x^2}{\frac{100}{9}} - 9 \cdot \frac{y^2}{\frac{800}{9}} = 9 \] \[ \frac{9x^2}{100} - \frac{9y^2}{800} = 1 \] O que se simplifica para: \[ \frac{x^2}{\frac{100}{9}} - \frac{y^2}{\frac{800}{9}} = 1 \] Agora, analisando as alternativas: a. \(\mathrm{x}_{2} 6-\mathrm{y}_{2} 8=1\) - Não é correta. b. \(\mathrm{x}_{2} 36-\mathrm{y}_{2} 100=1\) - Não é correta. c. \(\mathrm{x}_{2} 36-\mathrm{y}_{2} 64=1\) - Não é correta. d. \(\mathrm{x}_{2} 64-\mathrm{y}_{2} 36=1\) - Não é correta. e. \(\mathrm{x}_{2} 36+\mathrm{y}_{2} 64=1\) - Não é correta. Nenhuma das alternativas apresentadas parece estar correta com base nos cálculos realizados. Você pode precisar revisar as opções ou os dados fornecidos.