Para encontrar a equação da elipse com os focos \(F_1 = (0, -3)\) e \(F_2 = (0, 3)\), e um eixo menor medindo 8, vamos seguir os passos: 1. Identificação dos parâmetros: - Os focos estão localizados ao longo do eixo y, o que indica que a elipse é vertical. - A distância entre os focos é \(2c\), onde \(c\) é a distância do centro até cada foco. Aqui, \(c = 3\) (a distância do centro \((0,0)\) até \(F_1\) ou \(F_2\)). - O eixo menor (2b) mede 8, então \(b = 4\). 2. Cálculo de \(a\): - Usamos a relação \(c^2 = a^2 - b^2\). - Temos \(c = 3\) e \(b = 4\): \[ 3^2 = a^2 - 4^2 \implies 9 = a^2 - 16 \implies a^2 = 25 \implies a = 5. \] 3. Equação da elipse: - A equação da elipse vertical é dada por: \[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1. \] - Substituindo \(a^2 = 25\) e \(b^2 = 16\): \[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1. \] 4. Verificação das alternativas: - a) \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1\) (falsa) - b) \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) (falsa) - c) \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1\) (correta) - d) \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) (falsa) - e) \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1\) (falsa) Portanto, a alternativa correta é: c) \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1\).