Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, \(2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-3 y=0\), precisamos encontrar a solução geral. Primeiro, vamos escrever a equação característica associada a essa EDO, que é obtida substituindo \(y = e^{rx}\): \[ 2r^2 - 5r - 3 = 0 \] Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 2\), \(b = -5\) e \(c = -3\): \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} \] \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} \] \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ r = \frac{5 \pm 7}{4} \] Isso nos dá duas raízes: 1. \( r_1 = \frac{12}{4} = 3 \) 2. \( r_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) Assim, a solução geral da EDO é dada por: \[ y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-\frac{x}{2}} \] Agora, analisando as alternativas: a. \(y=c_{1} e^{\frac{-x}{2}}+c_{2} e^{3 x}\) - Esta opção está incorreta na ordem dos termos. b. \(y=e^{\frac{-x}{2}}-e^{x}\) - Esta opção está incorreta. c. \(y=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{3 x}\) - Esta opção está incorreta. d. \(y=c_{1} e^{5 x}+c_{2} e^{3 x}\) - Esta opção está incorreta. e. \(y=c_{1} e^{\frac{x}{2}}+c_{2} e^{x}\) - Esta opção está incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \(y=c_{1} e^{\frac{-x}{2}}+c_{2} e^{3 x}\), considerando a ordem dos termos.