Grátis: A solução geral da EDO $\left\backslash\left(y^{\prime}=\backslash \operatorname{frac}\{-x\}\{y\}\right)\right.$ ) representa uma família de círcul... – Questões Respondidas

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A solução geral da EDO $\left\backslash\left(y^{\prime}=\backslash \operatorname{frac}\{-x\}\{y\}\right)\right.$ ) representa uma família de círculos concêntricos, isto é, $\backslash$ ( $x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2=c^{\wedge} 2 \backslash$ ). A solução que passa pelo ponto $\backslash((4,3) \backslash)$ é:
a. $\left.\left.\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2=16 \backslash\right)\right.\right.$
b. $\left.\left(\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2=4 \backslash\right)\right.$
c. $\left.\left(\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2=25 \backslash\right)\right.$
d. $\left.\left(\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2=3 \backslash\right)\right.$
e. $\left.\left(\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2=5 \backslash\right)\right.$

Questões para o Sucesso

ano passado

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Cálculo II - 1

UNINGÁ

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Ed

ano passado

Para resolver essa questão, precisamos entender que a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) dada representa uma família de círculos concêntricos, cuja equação é \(x^2 + y^2 = c^2\), onde \(c\) é uma constante que representa o raio do círculo. Dado que queremos encontrar a solução que passa pelo ponto \((4, 3)\), precisamos substituir esses valores na equação do círculo: \[ x^2 + y^2 = c^2 \] Substituindo \(x = 4\) e \(y = 3\): \[ 4^2 + 3^2 = c^2 \] \[ 16 + 9 = c^2 \] \[ 25 = c^2 \] Portanto, \(c = 5\). Assim, a equação do círculo que passa pelo ponto \((4, 3)\) é: \[ x^2 + y^2 = 25 \] Analisando as alternativas, a correta é: c. \((x^2 + y^2 = 25)\)

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A solução geral da EDO $2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-3 y=0$ é igual a:
a. $y=c_{1} e^{\frac{-x}{2}}+c_{2} e^{3 x}$
b. $y=e^{\frac{-x}{2}}-e^{x}$
c. $y=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{3 x}$
d. $y=c_{1} e^{5 x}+c_{2} e^{3 x}$
e. $y=c_{1} e^{\frac{x}{2}}+c_{2} e^{x}$

Assinale a alternativa que corresponde a solução do problema de valor inicial:
$ackslash(\backslash$ begin\{cases\} y'-4y'+13y=0 $\ \\ y(0)=-1 \\ y^{\prime}(0)=2 \$ end\{cases\} \}$
a. $ackslash(\mathrm{y}=\mathrm{e} \wedge\{2 \mathrm{x}\}(-\cos 3 \mathrm{x}+\backslash \operatorname{frac}\{4\}\{3\}$ sen $3 x) \backslash)$
b. $ackslash(y=e \wedge\{2 x\}(\backslash \operatorname{frac}\{4\}\{3\}$ sen $3 x) \backslash)$
c. $ackslash(y=-\cos 3 x+\backslash \operatorname{frac}\{4\}\{3\}$ sen $3 x \backslash)$
d. $ackslash(y=e \wedge\{2 x\}(\cos 3 x-\backslash \operatorname{frac}\{4\}\{3\}$ sen $3 x) \backslash)$
e. $ackslash(y=e \wedge\{2 x\}(-\cos 3 x) \backslash)$

Dado o problema de valor inicial
$ackslash(\backslash$ begin\{cases\} $y^{\prime}+2 y=e^{\wedge}\{-4 t\} \\ y(0)=\backslash$ frac \{3\}\{2\} \$ end \{cases\} \$ ),
is correto afirmar que a solução é dada por:
a. $ackslash(y(t)=-\ f r a c\{e^{\wedge}\}\{2\}+2 e^{\wedge}\{-2 t\} \backslash)$
b. $ackslash(y(t)=-\ f r a c\{e^{\wedge}\}-4 t\}\}\{2\} \backslash)$
c. $ackslash(y(t)=-\ f r a c\{e \wedge t\}\{2\}+2 e \wedge t \backslash)$
d. $ackslash(y(t)=-\ f r a c\{e^{\wedge}\}-4 t\}\}\{2\}+C \backslash)$
e. $ackslash(y(t)=-2 e^{\wedge}\{-2 t\} \backslash)$

A solução da equação: $\frac \{\mathrm{dy}\}\{\mathrm{dx}\}=\operatorname{sen} x \backslash)$, é igual a:
a. $ackslash(y=\operatorname{sen} x+C \backslash)$
b. $ackslash(y=-\cos x+C \backslash)$
c. $ackslash(y=-\operatorname{sen} x+C \backslash)$
d. $ackslash(y=\cos x+C \backslash)$
e. $ackslash(y=\operatorname{sen} x+\cos x+C \backslash)$

Vimos que a técnica das variáveis separáveis é utilizada para resolver um tipo particular das equações diferenciais ordinárias não lineares. Baseado nesta técnica assinale a alternativa correta que corresponde a solução da EDO $\left(\left(y^{\prime}=1+e^{\wedge}\{2 x\}\right)\right)$ :
a. $\left.\left.\left(\left(y=\backslash \operatorname{frac}\{1\}\{2\} e^{\wedge}\{2 x\}+C \backslash\right)\right.\right.\right.$
b. $\left.\left.\left(\left(y=x+C \backslash\right)\right.\right.$
c. $\left.\left(\left(y=e^{\wedge}\{2 x\}+C \backslash\right)\right.$
d. $y=x+e^{\wedge}\{2 x\}+C$
e. $\left.\left.\left(\left(y=x+\backslash \operatorname{frac}\{1\}\{2\} e^{\wedge}\{2 x\}+C \backslash\right)\right.\right.$