Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, \( y' = 1 + e^{2x} \), podemos usar a técnica das variáveis separáveis. Primeiro, integramos ambos os lados em relação a \( x \): 1. A integral de \( y' \) em relação a \( x \) é \( y \). 2. A integral de \( 1 + e^{2x} \) em relação a \( x \) é \( x + \frac{1}{2} e^{2x} + C \). Assim, a solução geral da EDO é: \[ y = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Agora, analisando as alternativas: a. \( y = \frac{1}{2} e^{2x} + C \) - Incorreto, falta o termo \( x \). b. \( y = x + C \) - Incorreto, falta o termo \( \frac{1}{2} e^{2x} \). c. \( y = e^{2x} + C \) - Incorreto, falta o termo \( x \) e o fator \( \frac{1}{2} \). d. \( y = x + e^{2x} + C \) - Incorreto, o termo \( e^{2x} \) não está correto, deveria ser \( \frac{1}{2} e^{2x} \). e. \( y = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C \) - Correto, corresponde à solução que encontramos. Portanto, a alternativa correta é: e. \( y = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C \).