Para resolver o problema de valor inicial dado, precisamos analisar a equação diferencial e as condições iniciais. A equação diferencial é \(y' - 4y' + 13y = 0\). Isso parece ser uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, normalmente encontramos a solução geral da equação homogênea e, em seguida, aplicamos as condições iniciais. As condições iniciais são \(y(0) = -1\) e \(y'(0) = 2\). Agora, vamos analisar as alternativas: a. \(y = e^{2x}(-\cos 3x + \frac{4}{3} \sin 3x)\) b. \(y = e^{2x}(\frac{4}{3} \sin 3x)\) c. \(y = -\cos 3x + \frac{4}{3} \sin 3x\) d. \(y = e^{2x}(\cos 3x - \frac{4}{3} \sin 3x)\) e. \(y = e^{2x}(-\cos 3x)\) Para determinar a solução correta, precisamos verificar qual alternativa satisfaz as condições iniciais. Após a análise, a alternativa que se ajusta melhor às condições iniciais dadas é a a) \(y = e^{2x}(-\cos 3x + \frac{4}{3} \sin 3x)\), pois ela incorpora a exponencial e as funções trigonométricas que são esperadas na solução da equação diferencial. Portanto, a resposta correta é a) \(y = e^{2x}(-\cos 3x + \frac{4}{3} \sin 3x)\).