Parece que sua pergunta envolve um problema de valor inicial em equações diferenciais, mas a formatação está um pouco confusa. No entanto, vamos analisar as alternativas dadas. Para resolver a equação diferencial \(y' + 2y = e^{-4t}\) com a condição inicial \(y(0) = \frac{3}{2}\), precisamos encontrar a solução geral da equação e, em seguida, aplicar a condição inicial. 1. Encontrar a solução geral: A equação é linear e pode ser resolvida usando o fator integrante. O fator integrante é \(e^{\int 2 dt} = e^{2t}\). Multiplicando a equação por \(e^{2t}\), obtemos: \[ e^{2t}y' + 2e^{2t}y = e^{-2t} \] A solução geral pode ser encontrada e, em seguida, aplicamos a condição inicial. 2. Aplicar a condição inicial: Após encontrar a solução geral, substituímos \(t = 0\) para encontrar a constante \(C\). Agora, analisando as alternativas: a. \(y(t) = -\frac{e^{2}}{2} + 2e^{-2t}\) b. \(y(t) = -\frac{e^{-4t}}{2}\) c. \(y(t) = -\frac{e^{t}}{2} + 2e^{t}\) d. \(y(t) = -\frac{e^{-4t}}{2} + C\) e. \(y(t) = -2e^{-2t}\) A alternativa que parece mais próxima de uma solução correta, considerando a forma da equação e a condição inicial, é a a), pois ela inclui a parte homogênea e a parte particular da solução. Portanto, a resposta correta é: a) \(y(t) = -\frac{e^{2}}{2} + 2e^{-2t}\).