Para qualquer \(n \in \mathbb{N}\), tem-se que \(n<2^{n}\).

Para provar que \(n < 2^n\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), podemos fazer a prova por indução. 1. Base da indução: Para \(n = 0\): \[ 0 < 2^0 \implies 0 < 1 \quad \text{(verdadeiro)} \] 2. Passo da indução: Suponha que a afirmação é verdadeira para algum \(k \in \mathbb{N}\), ou seja, \(k < 2^k\). Precisamos mostrar que \(k + 1 < 2^{k + 1}\). A partir da hipótese de indução, temos: \[ k < 2^k \] Adicionando 1 em ambos os lados: \[ k + 1 < 2^k + 1 \] Sabemos que \(2^k + 1 < 2 \cdot 2^k = 2^{k + 1}\) (porque \(2^k\) é sempre positivo). Portanto: \[ k + 1 < 2^{k + 1} \] 3. Conclusão: Como a base da indução é verdadeira e o passo da indução também é verdadeiro, concluímos que \(n < 2^n\) para todo \(n \in \mathbb{N}\).