A soma do número de diagonais de dois polígonos convexos é 142 e a diferença entre o número de lados é 1. Quantos lados têm estes polígonos?

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono convexo, que é: \[ D = \frac{n(n-3)}{2} \] onde \( D \) é o número de diagonais e \( n \) é o número de lados do polígono. Vamos chamar os polígonos de \( P_1 \) e \( P_2 \), onde \( n_1 \) e \( n_2 \) são o número de lados de \( P_1 \) e \( P_2 \), respectivamente. 1. A soma do número de diagonais é 142: \[ D_1 + D_2 = 142 \] \[ \frac{n_1(n_1-3)}{2} + \frac{n_2(n_2-3)}{2} = 142 \] 2. A diferença entre o número de lados é 1: \[ n_1 - n_2 = 1 \quad \text{ou} \quad n_2 - n_1 = 1 \] Vamos considerar \( n_1 = n_2 + 1 \). Substituindo na equação das diagonais: \[ \frac{(n_2 + 1)(n_2 - 2)}{2} + \frac{n_2(n_2 - 3)}{2} = 142 \] Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração: \[ (n_2 + 1)(n_2 - 2) + n_2(n_2 - 3) = 284 \] Expandindo: \[ n_2^2 - 2n_2 + n_2 - 2 + n_2^2 - 3n_2 = 284 \] \[ 2n_2^2 - 4n_2 - 2 = 284 \] \[ 2n_2^2 - 4n_2 - 286 = 0 \] \[ n_2^2 - 2n_2 - 143 = 0 \] Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara: \[ n_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1, b = -2, c = -143 \): \[ n_2 = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-143)}}{2 \cdot 1} \] \[ n_2 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2} \] \[ n_2 = \frac{2 \pm \sqrt{576}}{2} \] \[ n_2 = \frac{2 \pm 24}{2} \] As soluções são: \[ n_2 = 13 \quad \text{ou} \quad n_2 = -11 \quad (\text{não é válido}) \] Portanto, \( n_2 = 13 \) e \( n_1 = n_2 + 1 = 14 \). Assim, os polígonos têm 13 e 14 lados.