Para determinar qual dos conjuntos é linearmente dependente, precisamos verificar se existe uma combinação linear não trivial que iguala o vetor nulo. Vamos analisar cada alternativa: a) \(\{v_{1}=3 x^{2}+1, v_{2}=-3 x^{2}+2, v_{3}=x^{2}+x+1\}\): - Aqui, \(v_{1}\) e \(v_{2}\) são polinômios de grau 2, e \(v_{3}\) também é de grau 2. Para que sejam linearmente dependentes, deve haver uma combinação que resulte no polinômio nulo. Vamos verificar se podemos expressar um deles como combinação dos outros. b) \(\{v_{1}=3 x^{2}+1\}\): - Um único vetor não pode ser linearmente dependente, pois não há outros vetores para formar uma combinação. c) \(\{v_{1}=3 x^{2}+1, v_{2}=-3 x^{2}+2\}\): - Aqui, temos dois polinômios de grau 2. Para verificar a dependência, podemos tentar encontrar \(a\) e \(b\) tais que \(a(3x^2 + 1) + b(-3x^2 + 2) = 0\). Isso pode ser feito, então eles são linearmente dependentes. d) \(\{v_{1}=3 x^{2}+2 x+1, v_{2}=-x^{2}+2, v_{3}=x^{2}-2 x-9\}\): - Para três polinômios, precisamos verificar se existe uma combinação que resulta no polinômio nulo. Isso pode ser mais complicado, mas não é garantido que sejam linearmente dependentes sem fazer cálculos. e) \(\{v_{1}=3 x^{2}+1, v_{2}=-x+2\}\): - Aqui temos um polinômio de grau 2 e um de grau 1. Eles não podem ser linearmente dependentes, pois não há como um polinômio de grau 2 ser expresso como uma combinação de um polinômio de grau 1. Após essa análise, a alternativa que apresenta um conjunto linearmente dependente é a c) \(\{v_{1}=3 x^{2}+1, v_{2}=-3 x^{2}+2\}\).