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No espaço vetorial $\mathbf{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})$ das matrizes $3 \times 3$ de coeficientes reais, dado o subconjunto B, é correto afirmar que:
a. se $B$ possui mais de 10 vetores, então $B$ pode ser linearmente independente.
b. se $B$ possui exatamente um vetor não nulo, então $B$ é linearmente dependente.
c. se $B$ possui menos de 9 vetores, então $B$ é obrigatoriamente linearmente independente.
d. se $0 \in B$, então $B$ pode ser linearmente independente.
e. se $B$ possui exatamente um vetor não nulo, então $B$ é linearmente independente.
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ATIVIDADE ONLINE 1 - Geometria Analítica e Álgebra Linea _ Graduação EAD
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há 2 meses

Vamos analisar as alternativas uma a uma, considerando as propriedades de dependência e independência linear no espaço vetorial \(\mathbf{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})\), que é o espaço das matrizes \(2 \times 3\) com coeficientes reais. 1. Alternativa a: "se \(B\) possui mais de 10 vetores, então \(B\) pode ser linearmente independente." - Um espaço vetorial \( \mathbf{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})\) tem dimensão \(6\) (pois \(2 \times 3 = 6\)). Se \(B\) tem mais de \(6\) vetores, então \(B\) não pode ser linearmente independente. Portanto, essa alternativa é falsa. 2. Alternativa b: "se \(B\) possui exatamente um vetor não nulo, então \(B\) é linearmente dependente." - Um conjunto com um único vetor não nulo é sempre linearmente independente. Portanto, essa alternativa é falsa. 3. Alternativa c: "se \(B\) possui menos de 9 vetores, então \(B\) é obrigatoriamente linearmente independente." - Isso não é verdade, pois um conjunto pode ter menos de \(6\) vetores e ainda ser linearmente dependente. Portanto, essa alternativa é falsa. 4. Alternativa d: "se \(0 \in B\), então \(B\) pode ser linearmente independente." - Se o vetor nulo (\(0\)) está em \(B\), o conjunto não pode ser linearmente independente, pois a presença do vetor nulo implica dependência. Portanto, essa alternativa é falsa. 5. Alternativa e: "se \(B\) possui exatamente um vetor não nulo, então \(B\) é linearmente independente." - Isso é verdade, pois um único vetor não nulo forma um conjunto linearmente independente. Portanto, a alternativa correta é: e.

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Em $P_{3}$, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente dependente: $X=\left(v_{1}=-2 x^{3}+x, v_{2}=2 x^{3}-x, v_{3}=2 x^{3}+x^{2}-x+3, v_{4}=x^{2}+3\right)$. É base do $\operatorname{ger}(X)$ o conjunto:
a. $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$.
b. $\left\{v_{1}, v_{3}, v_{4}\right\}$.
c. c) $\checkmark$ $\left\{v_{1}, v_{3}\right\}$
d. $\left\{v_{1}, v_{2}\right\}$.
e. $\left\{v_{1}\right\}$.

Considere a matriz linha $A$ e a matriz coluna $B$ dadas abaixo:
A imagem mostra duas matrizes: A é uma matriz linha com elementos 2 e 3, e B é uma matriz coluna com elementos 4 e 1.
O produto matricial $A B$ é igual a:
a.
A imagem mostra uma matriz linha com elementos 8 e 3.

b.
A imagem mostra uma matriz linha com elemento 11.

c.
A imagem mostra uma matriz linha com elemento 10.

d.
A imagem mostra uma matriz coluna com elementos 8 e 3.

e.
A imagem mostra uma matriz 2x2 com elementos 8, 12, 1 e 3.

Em $P_{3}$, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente independente: $Y=\left\{v_{1}=3 x^{3}+2 x+1, v_{2}=x^{2}-3 x\right\}$. O conjunto $Y \cup\left\{v_{3}, v_{4}\right\}$ é base de $P_{3}$, se:
a. $v_{2}=-(2 / 3) x^{3}+3 x^{2}+x, v_{4}=-(1 / 3) x^{3}+1 . \checkmark$
b. $v_{3}=2 v_{1}, v_{4}=v_{2}+v_{1}$.
c. $v_{3}=-2 x^{3}+3 x^{2}+x, v_{4}=-x^{3}+x$.
d. $v_{3}=-2 x^{3}+3 x^{2}+x+3, v_{4}=-x^{3}+x+3$.
e. $v_{3}=0, v_{4}=5 x^{3}-1$.

Seja $E$ espaço vetorial, tal que $\operatorname{dim}(E)=6$. Assinale a afirmação correta sobre os subconjuntos de $E$.
a. Se $V \subset E$ é linearmente independente, então $V$ possui 6 vetores.
b. Se $Y \subset E$ e possui 7 vetores, então $Y$ é linearmente dependente.
c. Se $W \subset E$ possui 6 vetores e é linearmente independente, pode acontecer de $\operatorname{ger}(W) \neq E$.
d. Se $X \subset E$ e possui 6 vetores, então $X$ é base de $E$.
e. Se $Z$ é base de $E$, então $0 \in Z$.

Qual o argumento do número complexo $z=-1+i \sqrt{3} \boldsymbol{\gamma}$
a. $\frac{\pi}{3}$
b. 2
c. $\frac{2 \pi}{3}$
d. $\frac{3 \pi}{4}$
e. 1

Sendo $i=\sqrt{-1}$, unidade imaginária do conjunto dos números complexos, qual o valor da expressão $\frac{i^{300}+i^{607}}{i^{14}}$ ?
a. $-2 i$
b. $i$
c. 0
d. $2 i \checkmark$
e. $-i$

Observe o plano de Argand-Gauss representado abaixo, onde A é afixo do número complexo z = a + bi. Qual a diferença entre $z \in \bar{z}$ ?
a. $-8 \sqrt{2}+i .8 \sqrt{2}$
b. $-i .16 \sqrt{2}$
c. $i .16 \sqrt{2} \checkmark$
d. $-16 \sqrt{2}+i .16 \sqrt{2}$
e. $-8 \sqrt{2}-i .8 \sqrt{2}$

No espaço vetorial $\mathrm{P}_{2}$ dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais, qual dos conjuntos abaixo é linearmente dependente?
a. $\left\{v_{1}=3 x^{2}+1, v_{2}=-3 x^{2}+2, v_{3}=x^{2}+x+1\right\}$.
b. $\left\{v_{1}=3 x^{2}+1\right\}$.
c. $\left\{v_{1}=3 x^{2}+1, v_{2}=-3 x^{2}+2\right\}$.
d. $\left\{v_{1}=3 x^{2}+2 x+1, v_{2}=-x^{2}+2, v_{3}=x^{2}-2 x-9\right\} \cdot \checkmark$
e. b) $\left\{v_{1}=3 x^{2}+1, v_{2}=-x+2\right\}$.

Dadas as matrizes abaixo: $A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}\right] \in B=\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right]$ encontre a matriz inversa do produto entre $A$ e $B$, isto é, $(A B)^{-1}$.
a. $\quad\left[\begin{array}{ll}7 & 6 \\ 9 & 8\end{array}\right]$
b. $\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 3 / 2\end{array}\right]$
c. $\left[\begin{array}{ll}4 & 4 \\ 3 & 5\end{array}\right]$
d. $\left[\begin{array}{rr}4 & -3 \\ -9 / 2 & 7 / 2\end{array}\right] \checkmark$
e. $\left[\begin{array}{rr}3 & -2 \\ -1 & 1\end{array}\right]$

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