Para determinar a imagem da função \( f(x) = (\cos x + \sec x + 2) \cdot \cos x \), onde \( \cos x \neq 0 \), vamos analisar a função passo a passo. 1. Identificação das funções: A função \( \sec x \) é a recíproca de \( \cos x \), ou seja, \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \). Portanto, a função pode ser reescrita como: \[ f(x) = (\cos x + \frac{1}{\cos x} + 2) \cdot \cos x \] 2. Simplificação: Multiplicando, temos: \[ f(x) = \cos^2 x + 1 + 2\cos x \] 3. Análise da função: A função \( f(x) \) é uma função quadrática em termos de \( \cos x \). Se definirmos \( y = \cos x \), onde \( y \in (-1, 1) \) (já que \( \cos x \neq 0 \)), a função se torna: \[ f(y) = y^2 + 2y + 1 \] 4. Fatoração: A expressão \( y^2 + 2y + 1 \) pode ser fatorada como: \[ f(y) = (y + 1)^2 \] 5. Imagem da função: Como \( y \) varia de \(-1\) a \(1\) (excluindo \(0\)), \( (y + 1) \) varia de \(0\) a \(2\). Portanto, \( (y + 1)^2 \) varia de \(0\) a \(4\). Assim, a imagem da função \( f(x) \) é o intervalo \([0, 4]\).