Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição.
Pensando nisso, sobre a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (1, -4, 1) e v = (-2, -1, -1), analise as seguintes sentenças:
I. Os vetores são perpendiculares.
II. Os vetores formam um ângulo agudo.
III. Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV. Os vetores são complementares.
A Somente a sentença I está correta.
B Somente a sentença IV está correta.
C Somente a sentença III está correta.
D Somente a sentença II está correta.
Pensando nisso, sobre a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (1, -4, 1) e v = (-2, -1, -1), analise as seguintes sentenças:
I. Os vetores são perpendiculares.
II. Os vetores formam um ângulo agudo.
III. Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV. Os vetores são complementares.
A Somente a sentença I está correta.
B Somente a sentença IV está correta.
C Somente a sentença III está correta.
D Somente a sentença II está correta.
Respostas
Ed 
semana passada
Para determinar a relação entre os vetores \( u = (1, -4, 1) \) e \( v = (-2, -1, -1) \), precisamos calcular o produto escalar e o ângulo entre eles. 1. Produto Escalar: \[ u \cdot v = (1)(-2) + (-4)(-1) + (1)(-1) = -2 + 4 - 1 = 1 \] 2. Análise do Produto Escalar: - Se o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares. - Se o produto escalar é positivo, os vetores formam um ângulo agudo. - Se o produto escalar é negativo, os vetores formam um ângulo obtuso. Como o produto escalar \( u \cdot v = 1 \) é positivo, isso indica que os vetores formam um ângulo agudo. Agora, vamos analisar as sentenças: I. Os vetores são perpendiculares. FALSO (produto escalar não é zero). II. Os vetores formam um ângulo agudo. VERDADEIRO (produto escalar é positivo). III. Os vetores formam um ângulo obtuso. FALSO (produto escalar não é negativo). IV. Os vetores são complementares. FALSO (são complementares se o ângulo entre eles for 90°, o que não é o caso). Portanto, a única sentença correta é a II. A alternativa correta é: D Somente a sentença II está correta.
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Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (reta ou plano) estão na mesma direção. Ao trabalhar com essa noção de Espaço Vetorial, duas retas são paralelas e existe um plano que as contém se essas retas não se tocam. Sendo assim, elas estão na mesma direção, mesmo que estejam em sentidos opostos. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- Os vetores (2, -1, 3) e (-6, 3, -9) são paralelos.
II- Os vetores (1, -2, 4) e (2, -4, -8) são paralelos.
III- Os vetores (3, -1, 2) e (6, -2, 4) são paralelos.
IV- Os vetores (1, -1, 2) e (2, 2, 4) são paralelos.
A As sentenças I e III estão corretas.
B As sentenças II e III estão corretas.
C As sentenças II e IV estão corretas.
D As sentenças I e IV estão corretas.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida, então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.
A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
a) F - F - F - V.
b) V - F - V - F.
c) F - V - V - F.
d) V - V - V - F.
O produto interno tem propriedades um pouco diferentes do que as usuais. Podemos ter equívocos quanto ao produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, que é um caso especial de produto interno. Sobre a necessidade de definirmos produto interno, analise as sentenças a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- O produto interno pode definir o ângulo entre vetores.
II- O produto interno pode ser utilizado para determinar autovalor e autovetor.
III- O produto interno se faz necessário porque facilita o cálculo do determinante.
IV- O produto interno de um vetor consigo mesmo é igual à norma do vetor elevada ao quadrado.
A As sentenças I e IV estão corretas.
B As sentenças I e II estão corretas.
C Somente a sentença I está correta.
D As sentenças III e IV estão corretas.
Em Álgebra linear, é fundamental conhecermos se um vetor é uma combinação linear de outros. Existem Sistemas de Equações que podem ser discutidas a partir desses resultados, bem como o conceito de base de um espaço vetorial necessita desse procedimento para ser definido.
Para quais valores de K os vetores (-1, 2, 6) e (2k, 8 , 24) são linearmente independentes?
A Para K diferente de -4.
B Para K diferente de 2.
C Para K diferente de 4.
D Para K diferente de -2.
Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja norma resulta na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos vetores utilizados na operação. Considere que esses vetores pertencem a um mesmo ponto e que eles possuem V= (-1, 2, 0) e U = (1, -1, 1).
Sobre a área, aproximadamente, do paralelogramo delimitado por esses vetores, assinale a alternativa CORRETA:
A √5
B √6.
C √7
D √15
A operação entre vetores chamada de Produto Interno Usual aplica-se, muitas vezes, à necessidade de observar se dois vetores são ortogonais ou não. A partir daí, encontramos aplicações na engenharia e na computação em geral.
Com base nisso, considere os vetores a seguir, calcule seu Produto Interno Usual dos vetores v1 = (-3, 2) e v2 = (-1, -2) e assinale a alternativa CORRETA:
A -7.
B -4.
C 5.
D -1.
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