Vamos analisar a questão sobre o Laplaciano da função \( f(x,y,z) = xyz \) e as alternativas apresentadas: Primeiro, precisamos calcular o Laplaciano da função \( f \). O Laplaciano é dado por: \[ \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \] Calculando as derivadas parciais: 1. \( f(x,y,z) = xyz \) 2. \( \frac{\partial f}{\partial x} = yz \) 3. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0 \) 4. \( \frac{\partial f}{\partial y} = xz \) 5. \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 \) 6. \( \frac{\partial f}{\partial z} = xy \) 7. \( \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0 \) Portanto, o Laplaciano é: \[ \nabla^2 f = 0 + 0 + 0 = 0 \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) Os eixos X, Y e Z são ortogonais entre si. - FALSO. Embora os eixos sejam ortogonais, isso não é uma justificativa para o valor do Laplaciano. B) O contradomínio dessa função faz parte dos reais \( \mathbb{R}^2 \). - FALSO. O contradomínio da função \( f(x,y,z) = xyz \) é \( \mathbb{R} \), não \( \mathbb{R}^2 \). C) As derivadas parciais de \( V(f) \) são 0. - FALSO. As derivadas parciais de \( f \) não são todas zero, apenas as segundas derivadas. D) As derivadas parciais de \( V(f) \) são 1. - FALSO. As derivadas parciais não são iguais a 1. E) O operador diferencial nabla é escrito na forma \( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \). - VERDADEIRO. Esta é a forma correta do operador Laplaciano. Portanto, a alternativa correta é: E.