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Equações Diferenciais

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Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas, sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil quando expressões que contiverem expressões trigonométricas devem ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação, tal como sen t = (1-cos2t)/2.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L{sen t}, a transformada corresponde a:
L = 1 / s(s + 4).3
L = 2 / s(s + 4).2
L = 4 / s(s + 4).
L = 2 / (s + 4).
L = 1 / (s + 4).

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A transformada de Laplace da função seno é dada por: \[ L\{\sen(t)\} = \frac{1}{s^2 + \omega^2} \] onde \(\omega\) é a frequência. Para \(\sen(t)\), temos \(\omega = 1\), então: \[ L\{\sen(t)\} = \frac{1}{s^2 + 1} \] Nenhuma das opções apresentadas corresponde a essa expressão. Se você estiver se referindo a uma função diferente ou a um fator adicional, por favor, verifique os detalhes. Se precisar de mais ajuda, estou aqui!

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O primeiro teorema de translação, também conhecido como propriedade de amortecimento, facilita em muito os cálculos de transformadas de Laplace. Considerando que f(t) seja 'amortecida' pelo fator exponencial e^-at, sua transformada de Laplace apresentará um deslocamento para a esquerda em relação a nova variável.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de transformadas, dada a função te sua transformada corresponde a:
L = 1 / (s - 3)3
L = 1 / (s - 1)3
L = 1 / (s)3
L = 1 / (s – 3)2
L = 1 / (s)2

Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com um polinômio de alto grau, não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o polinômio de maneira que ele tenha apenas um ou dois graus, sendo fácil, então, determinar sua transformada inversa.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L = {1 / (s – 1). (s + 2). (s + 4)}, a transformada inversa corresponde a:
L = 1/7.e – 1/10.e + 1/6.e .-1 t -2t -4t
L = 15.e – 1/6.e + 10.e .-1 t -2t -4t
L = 1/15.e – 1/6.e + 1/10.e .-1 t -2t -4t
L = 1/15.e – 1/6.e + 1/10.e .-1 3t -t -4t
L = 15.e + 6.e – 10.e .-1 t -2t -2t

A derivabilidade ou diferenciabilidade de uma função é a análise feita para saber se uma função derivada está definida em todos os pontos do seu domínio. Uma função é derivável ou diferenciável no ponto x, se existir o limite da derivada em tal ponto.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de transformadas, dada a função t . sen(kt), sua transformada corresponde a:
L = 6s – k / (s + k) .2 3 2 3
L = s – 2k / (s + k ).2 3 2 2
L = s – k / (s + k ) .2 3 2 3
L = 6ks – 2k / (s + k ) .2 3 2 2 3
L = 6k – k / (s + k ) .2 3 2 2 3

Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou de uma nova sistematização baseada em características específicas.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, pode-se afirmar, considerando a função L{e }, que a transformada corresponde a:
L = 1/(s – 3).
L = 1/(s ).3
L = 1/(s +3).2
L = 1/(s+3).
L = 1/s.

O método da transformada de Laplace foi criado por um notório matemático chamado Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827), chamado de 'o Newton da França'. Era matemático, físico e astrônomo, e usou a transformada integral em seu trabalho sobre teoria das probabilidades.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, pode-se afirmar que a transformada equivale em L{t} a:
L{t} = (1-s ).2
L{t} = 1/s .3
L{t} = 1/s.
L{t} = 1/s .2
L{t} = s .2

Para exemplificar o conceito de linearidade, vamos supor que para as funções f e g existam as suas transformadas de Laplace para s>a1 e s>a2, respectivamente. Então, para s maior que o máximo entre a1 e a2, a transformada de Laplace de c1.f(t) + c2.g(t) existe, ou seja, a transformada da soma é igual à soma das transformadas.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre linearidade da transformada de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L{3t – 5 sen2t}, a transformada corresponde a:
L = (s + 12) / (s + 4).2 2
L = (-7s ) / s (s + 4).2 2 2
L = (-10s + 12) / (s + 4).2 2
L = (-7s + 12) / s (s + 4).2 2 2
L = (-7s + 12) / (s + 4).2 2