Para determinar qual das equações diferenciais homogêneas admite a solução \( y = e^{2x} \), precisamos encontrar a equação que, ao substituir \( y \), \( y' \) e \( y'' \), resulta em uma identidade verdadeira. 1. Derivadas de \( y = e^{2x} \): - \( y' = 2e^{2x} \) - \( y'' = 4e^{2x} \) 2. Substituindo nas equações: - Para \( y'' - 11y' - 10y = 0 \): \[ 4e^{2x} - 11(2e^{2x}) - 10(e^{2x}) = 4e^{2x} - 22e^{2x} - 10e^{2x} = -28e^{2x} \neq 0 \] - Para \( 6y'' + 11y' - 6y = 0 \): \[ 6(4e^{2x}) + 11(2e^{2x}) - 6(e^{2x}) = 24e^{2x} + 22e^{2x} - 6e^{2x} = 40e^{2x} \neq 0 \] - Para \( y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0 \): - \( y''' = 8e^{2x} \) \[ 8e^{2x} - 6(4e^{2x}) + 11(2e^{2x}) - 6(e^{2x}) = 8e^{2x} - 24e^{2x} + 22e^{2x} - 6e^{2x} = 0 \] - Para \( 2y''' - 10y'' + 8y' - 5y = 0 \): \[ 2(8e^{2x}) - 10(4e^{2x}) + 8(2e^{2x}) - 5(e^{2x}) = 16e^{2x} - 40e^{2x} + 16e^{2x} - 5e^{2x} = -13e^{2x} \neq 0 \] 3. Conclusão: A única equação que resulta em zero é a terceira: \[ y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0. \] Portanto, a equação diferencial linear homogênea que admite a solução \( y = e^{2x} \) é: \[ \boxed{y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0.} \]