Análise Matemática

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Se E ⊂ Rn um subespaço vetorial. Se E ̸= Rn, então intE = ∅.

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Solução Curso de Análise volume 2 capitulo 1

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A afirmação "Se \( E \subset \mathbb{R}^n \) é um subespaço vetorial e \( E \neq \mathbb{R}^n \), então \( \text{int}(E) = \emptyset \)" é verdadeira. Para entender isso, vamos analisar: 1. Subespaço Vetorial: Um subespaço vetorial \( E \) de \( \mathbb{R}^n \) é um conjunto que contém o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. 2. Interior de um Conjunto: O interior de um conjunto \( E \), denotado por \( \text{int}(E) \), é o conjunto de todos os pontos de \( E \) que têm uma vizinhança totalmente contida em \( E \). 3. Caso \( E \neq \mathbb{R}^n \): Se \( E \) é um subespaço vetorial que não é igual a \( \mathbb{R}^n \), isso significa que \( E \) tem dimensão menor que \( n \). Por exemplo, se \( E \) é um plano em \( \mathbb{R}^3 \) (dimensão 2), não existe uma vizinhança em \( E \) que contenha pontos fora desse plano, logo, não há pontos no interior de \( E \). Portanto, se \( E \) não ocupa todo o espaço \( \mathbb{R}^n \), seu interior será vazio, ou seja, \( \text{int}(E) = \emptyset \).

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Se E ⊂ Rn é um subespaço de dimensão m, sua dimensão complementar é n−m.
Existem n−m funcionais lineares f1, f2, . . . , fn−m : Rn → R tais que: E = {x ∈ Rn | f1(x) = f2(x) = · · · = fn−m(x) = 0}.

Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Considere em Rm e Rn a norma euclidiana. As seguintes afirmacoes a respeito de uma aplicação linear A : Rm → Rn são equivalentes:
(i) |Ax| = |x| para todo x ∈ Rm;
(ii) |Ax−Ay| = |x− y| para quaisquer x, y ∈ Rm;
(iii) ⟨Ax,Ay⟩ = ⟨x, y⟩ para quaisquer x, y ∈ Rm;
(iv) Todo conjunto ortonormal em Rm é transformado por A num conjunto ortonormal em Rn;
(v) A∗A = Im (aplicação identidade de Rm);
(vi) As colunas da matriz de A formam um conjunto ortonormal em Rn.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

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Se E ⊂ Rn é um subespaço de dimensão m, sua dimensão complementar é n−m.
Existem n−m funcionais lineares f1, f2, . . . , fn−m : Rn → R tais que: E = {x ∈ Rn | f1(x) = f2(x) = · · · = fn−m(x) = 0}.

Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.