Para classificar os pontos críticos da função \( f(x,y) = x^5 + 5x^2 - y - 3y \), precisamos primeiro encontrar os pontos críticos, que são obtidos igualando as derivadas parciais a zero. 1. Encontrar as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 5x^4 + 10x \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -1 - 3 = -4 \) 2. Igualar as derivadas a zero: - Para \( f_x = 0 \): \( 5x^4 + 10x = 0 \) → \( x(5x^3 + 10) = 0 \) → \( x = 0 \) ou \( 5x^3 + 10 = 0 \) (não tem raízes reais). - Para \( f_y = 0 \): Não há solução, pois é uma constante. Assim, o único ponto crítico que encontramos é \( (0, -\frac{3}{2}) \). 3. Classificação dos pontos críticos: Para classificar, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas e formar a matriz Hessiana. 4. Segundas derivadas: - \( f_{xx} = 20x^3 + 10 \) - \( f_{yy} = 0 \) - \( f_{xy} = 0 \) 5. Matriz Hessiana: \[ H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix} \] 6. Determinante da Hessiana: O determinante \( D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 \). Agora, avaliando os pontos críticos: - Para \( (0, -\frac{3}{2}) \): - \( f_{xx}(0) = 10 \) (positivo) - \( f_{yy} = 0 \) - Portanto, não podemos classificar como máximo ou mínimo local, mas pode ser um ponto de sela. - Para \( (10, -\frac{3}{2}) \): - Precisaríamos calcular \( f_{xx}(10) \) e \( f_{yy} \) para determinar a natureza, mas a análise inicial sugere que é um ponto de sela. Analisando as alternativas: A) A (0, -3/2) é máximo local e (10, -3/2) é mínimo local. (FALSO) B) A (0, -3/2) é máximo local e (10, 3/2) é ponto de sela. (FALSO) C) A (0,-3/2) é ponto de sela e (10,-3/2) é ponto de sela. (POSSIVEL) D) A (0, 3/2) é mínimo local e (10, -3/2) é ponto de sela. (FALSO) E) A (0, -3/2) é máximo local e (10, -3/2) é ponto de sela. (FALSO) A alternativa que melhor se encaixa é a C) (0, -3/2) é ponto de sela e (10, -3/2) é ponto de sela.