Para calcular o momento de inércia de um disco homogêneo em relação ao eixo x, utilizamos a fórmula: \[ I_x = \int y^2 \, dm \] Onde \( dm \) é a massa diferencial do disco. Para um disco homogêneo, a densidade é constante e dada por \( f(x, y) = 3 \). 1. Definindo a massa diferencial: A massa diferencial \( dm \) pode ser expressa como \( dm = f(x, y) \, dA \), onde \( dA \) é a área diferencial. Para um disco, podemos usar coordenadas polares, onde \( dA = r \, dr \, d\theta \). 2. Mudando para coordenadas polares: No disco, temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - O raio \( r \) varia de 0 a 2 e \( \theta \) de 0 a \( 2\pi \). 3. Substituindo na integral: O momento de inércia em relação ao eixo x fica: \[ I_x = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (r \sin(\theta))^2 \cdot 3 \cdot r \, dr \, d\theta \] \[ = 3 \int_0^{2\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta \int_0^2 r^3 \, dr \] 4. Calculando a integral em \( r \): \[ \int_0^2 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \frac{16}{4} = 4 \] 5. Calculando a integral em \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta = \pi \] 6. Substituindo os resultados: \[ I_x = 3 \cdot \pi \cdot 4 = 12\pi \] Portanto, o momento de inércia do disco homogêneo em torno do eixo x é: B) 12 pi.