Seja f(x) = √(x− 4) e g(x) = 1/2x+ 1. Ache o domı́nio e a imagem de f ◦ g.

Para encontrar o domínio e a imagem da função composta \( f \circ g \), onde \( f(x) = \sqrt{x - 4} \) e \( g(x) = \frac{1}{2}x + 1 \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar o domínio de \( g(x) \): A função \( g(x) = \frac{1}{2}x + 1 \) é uma função linear, então seu domínio é \( \mathbb{R} \) (todos os números reais). 2. Encontrar o domínio de \( f(x) \): A função \( f(x) = \sqrt{x - 4} \) está definida quando \( x - 4 \geq 0 \), ou seja, \( x \geq 4 \). Portanto, o domínio de \( f \) é \( [4, \infty) \). 3. Encontrar o domínio de \( f \circ g \): Para que \( f(g(x)) \) esteja definido, precisamos que \( g(x) \geq 4 \): \[ \frac{1}{2}x + 1 \geq 4 \] Resolvendo a inequação: \[ \frac{1}{2}x \geq 3 \implies x \geq 6 \] Portanto, o domínio de \( f \circ g \) é \( [6, \infty) \). 4. Encontrar a imagem de \( f \circ g \): Agora, vamos encontrar a imagem de \( f(g(x)) \): \[ f(g(x)) = f\left(\frac{1}{2}x + 1\right) = \sqrt{\left(\frac{1}{2}x + 1\right) - 4} = \sqrt{\frac{1}{2}x - 3} \] Para \( x \geq 6 \): \[ \frac{1}{2}x - 3 \geq 0 \implies \frac{1}{2}x \geq 3 \implies x \geq 6 \] Quando \( x = 6 \), temos: \[ f(g(6)) = \sqrt{\frac{1}{2}(6) - 3} = \sqrt{0} = 0 \] À medida que \( x \) aumenta, \( \frac{1}{2}x - 3 \) também aumenta, então a imagem de \( f(g(x)) \) é \( [0, \infty) \). Resumindo: - Domínio de \( f \circ g \): \( [6, \infty) \) - Imagem de \( f \circ g \): \( [0, \infty) \)