Determine a função f (inclusive o seu domı́nio) que satisfaça a propriedade: f(x)− 3/(f(x) + 3) = x.

Para resolver a equação \( f(x) - \frac{3}{f(x) + 3} = x \), vamos seguir os passos: 1. Isolar \( f(x) \): Multiplicamos ambos os lados da equação por \( f(x) + 3 \) para eliminar a fração: \[ (f(x) - 3)(f(x) + 3) = x(f(x) + 3) \] Isso se expande para: \[ f(x)^2 - 9 = xf(x) + 3x \] Rearranjando, temos: \[ f(x)^2 - xf(x) - 3x - 9 = 0 \] 2. Usar a fórmula de Bhaskara: A equação é uma quadrática em \( f(x) \). Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ f(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = -x \) e \( c = -3x - 9 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = x^2 - 4(1)(-3x - 9) = x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2 \] Portanto, temos: \[ f(x) = \frac{x \pm (x + 6)}{2} \] 3. Encontrar as soluções: Isso nos dá duas soluções: \[ f(x) = \frac{2x + 6}{2} = x + 3 \quad \text{ou} \quad f(x) = \frac{0}{2} = 0 \] 4. Domínio: Para determinar o domínio, precisamos garantir que \( f(x) + 3 \neq 0 \) para a fração original. Assim, \( f(x) \neq -3 \). A solução \( f(x) = 0 \) não gera problemas, mas \( f(x) = x + 3 \) é válida para todos os \( x \). Portanto, a função que satisfaz a propriedade é: \[ f(x) = x + 3 \] com domínio \( \mathbb{R} \) (todos os números reais).