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Dada a função f(x) = √(1− x2), mostre que (f ◦ f)(x) = |x|.

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Lista 4 - Funções inversas, impar, par e dominio
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há 4 dias

Para mostrar que \((f \circ f)(x) = |x|\) para a função \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\), vamos calcular \(f(f(x))\). 1. Calcule \(f(x)\): \[ f(x) = \sqrt{1 - x^2} \] 2. Agora, substitua \(f(x)\) na função \(f\): \[ f(f(x)) = f(\sqrt{1 - x^2}) = \sqrt{1 - (\sqrt{1 - x^2})^2} \] 3. Simplifique a expressão: \[ f(f(x)) = \sqrt{1 - (1 - x^2)} = \sqrt{x^2} \] 4. Por fim, a raiz quadrada de \(x^2\) é: \[ \sqrt{x^2} = |x| \] Portanto, mostramos que \((f \circ f)(x) = |x|\).

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Ache o domı́nio e a imagem da função dada pela equação e esboce o seu gráfico.
a) y = {6x+ 7 se x ≤ −2, 4− x se x > 2}
b) y = |2x− 3|
c) y = √(x2 − 4x+ 3)
d) y = {-1 se x ≤ 2, 1 se x > 2}
e) y = x|x|
f) y = √(1− x2)
g) y = {x2 − 4 se x < 3, 2x− 1 se x ≥ 3}
h) y = (x2 − 4x+ 3)(x2 − 4)/(x2 − 5x+ 6)(x+ 2)

Ache o domı́nio e a imagem da função f(x) = √(x+ 3) + 4√(7− x) e g(x) = √(x)/(x+ 1). Logo, calcule:
a) f(7) + g(−2)
b) (f(−2))^2
c) f(2) · g(4)
d) f(0)− g(3)
e) f(g(0))
f) f(−1)/g(1)

Nas seguintes funções, verifique se a função é par, ı́mpar ou nem par ou ı́mpar.
a) f(x) = x4 + 3
b) f(x) = x4 + x
c) g(t) = 2t^4 + 3t^2
d) h(x) = (f(x) + f(−x))/2, f quaisquer função.
e) g(x) = (f(x)− f(−x))/2, f quaisquer função.
f) f(x) = φ(|x|), para quaisquer função φ.
g) f(x) = 5x3 + 7x
h) h(y) = √(y2 + 1)/|y|

Seja f uma função definida por f(x) = 5x+ 3 e seja g uma função definida por g(x) = 3x+ k, onde k é uma constante real.
Determine o valor de k de tal modo que f ◦ g = g ◦ f.

Seja f definida por f(x) = x− 3 e g definida por g(x) = x2 + 4.
Determine
a) (f ◦ g)(4)
b) (g ◦ f)(3)
c) (f ◦ g)(x)
d) (g ◦ f)(x)

Seja f(x) = √(x− 4) e g(x) = 1/2x+ 1. Ache o domı́nio e a imagem de f ◦ g.

Determine a função f (inclusive o seu domı́nio) que satisfaça a propriedade: f(x)− 3/(f(x) + 3) = x.

Seja a função f(x) = {x, se x < 1; x^2, se 1 ≤ x ≤ 9; 27√(x), se x > 9}.
Verifique que f tem uma função inversa e encontre f−1.

Se f(x) = 2x, mostrar que f(x+ 3)− f(x− 1) = 15/2 f(x).

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