Seja a função f(x) = {x, se x < 1; x^2, se 1 ≤ x ≤ 9; 27√(x), se x > 9}. Verifique que f tem uma função inversa e encontre f−1.

Para verificar se a função \( f(x) \) tem uma função inversa, precisamos garantir que ela seja injetora (ou seja, que não assuma o mesmo valor para diferentes valores de \( x \)) em cada um dos seus intervalos. A função \( f(x) \) é definida por partes: 1. Para \( x < 1 \): \( f(x) = x \) (é injetora, pois é uma função linear crescente). 2. Para \( 1 \leq x \leq 9 \): \( f(x) = x^2 \) (é injetora nesse intervalo, pois \( x^2 \) é crescente para \( x \geq 0 \)). 3. Para \( x > 9 \): \( f(x) = 27\sqrt{x} \) (também é injetora, pois \( \sqrt{x} \) é crescente). Agora, vamos encontrar a função inversa \( f^{-1}(x) \) para cada parte: 1. Para \( y = x \) (quando \( x < 1 \)): - A inversa é \( f^{-1}(y) = y \). 2. Para \( y = x^2 \) (quando \( 1 \leq x \leq 9 \)): - Para encontrar a inversa, resolvemos \( y = x^2 \) para \( x \): - \( x = \sqrt{y} \). - Portanto, \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \) para \( 1 \leq \sqrt{y} \leq 9 \) (ou seja, \( 1 \leq y \leq 81 \)). 3. Para \( y = 27\sqrt{x} \) (quando \( x > 9 \)): - Resolvendo \( y = 27\sqrt{x} \) para \( x \): - \( \sqrt{x} = \frac{y}{27} \) e, elevando ao quadrado, temos \( x = \left(\frac{y}{27}\right)^2 \). - Portanto, \( f^{-1}(y) = \frac{y^2}{729} \) para \( y > 27\). Assim, a função inversa \( f^{-1}(y) \) é dada por: \[ f^{-1}(y) = \begin{cases} y & \text{se } y < 1 \\ \sqrt{y} & \text{se } 1 \leq y \leq 81 \\ \frac{y^2}{729} & \text{se } y > 27 \end{cases} \] Dessa forma, verificamos que \( f \) tem uma função inversa e encontramos \( f^{-1} \).