Para resolver essa questão, precisamos usar o fato de que se \( x = -1 \) é uma raiz do polinômio \( p(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 \), então \( p(-1) = 0 \). Vamos calcular \( p(-1) \): \[ p(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 5 \] \[ = -1 - 3 - 1 + 5 \] \[ = 0 \] Portanto, \( x = -1 \) é realmente uma raiz. Agora, sabemos que \( x = a - i \) também é uma raiz. Como os coeficientes do polinômio são reais, se \( a - i \) é uma raiz, então seu conjugado \( a + i \) também deve ser uma raiz. Assim, temos as raízes: \( -1 \), \( a - i \) e \( a + i \). O polinômio pode ser expresso como: \[ p(x) = (x + 1)(x - (a - i))(x - (a + i)) \] O produto das raízes complexas pode ser simplificado: \[ (x - (a - i))(x - (a + i)) = (x - a + i)(x - a - i) = (x - a)^2 + 1 \] Portanto, podemos reescrever o polinômio como: \[ p(x) = (x + 1)((x - a)^2 + 1) \] Agora, expandindo: \[ p(x) = (x + 1)(x^2 - 2ax + a^2 + 1) \] \[ = x^3 - 2ax^2 + (a^2 + 1 - 2a)x + (a^2 + 1) \] Comparando com o polinômio original \( p(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 \), temos: 1. Coeficiente de \( x^2 \): \( -2a = -3 \) → \( a = \frac{3}{2} \) 2. Coeficiente de \( x \): \( a^2 + 1 - 2a = 1 \) 3. Termo constante: \( a^2 + 1 = 5 \) → \( a^2 = 4 \) → \( a = 2 \) ou \( a = -2 \) Agora, precisamos verificar qual valor de \( a \) se encaixa nas opções dadas: A) \( a = -1 \) B) \( a = 0 \) C) \( a = -2 \) D) \( a = 2 \) A única opção que se encaixa é \( a = 2 \). Portanto, a resposta correta é: D) a = 2.