Para resolver essa questão, precisamos usar o fato de que se \( x = -2 \) é uma raiz do polinômio \( p(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2 \), então \( p(-2) = 0 \). Vamos calcular \( p(-2) \): \[ p(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2 \] \[ = -8 + 2 \cdot 4 - 2 + 2 \] \[ = -8 + 8 - 2 + 2 \] \[ = 0 \] Portanto, \( x = -2 \) é realmente uma raiz. Agora, sabemos que \( x = a - i \) também é uma raiz. Como os coeficientes do polinômio são reais, se \( a - i \) é uma raiz, então sua conjugada \( a + i \) também deve ser uma raiz. Assim, temos as raízes: \( -2 \), \( a - i \) e \( a + i \). O polinômio pode ser reescrito como: \[ p(x) = (x + 2)(x - (a - i))(x - (a + i)) \] O produto das raízes complexas pode ser simplificado: \[ (x - (a - i))(x - (a + i)) = (x - a + i)(x - a - i) = (x - a)^2 + 1 \] Portanto, podemos escrever: \[ p(x) = (x + 2)((x - a)^2 + 1) \] Agora, expandindo isso e igualando ao polinômio original, podemos encontrar o valor de \( a \). Expandindo: \[ p(x) = (x + 2)(x^2 - 2ax + a^2 + 1) \] \[ = x^3 - 2ax^2 + (a^2 + 1)x + 2x^2 - 4ax + 2(a^2 + 1) \] \[ = x^3 + (2 - 2a)x^2 + (a^2 + 1 - 4a)x + 2(a^2 + 1) \] Igualando os coeficientes com \( p(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2 \): 1. Para \( x^2 \): \( 2 - 2a = 2 \) → \( -2a = 0 \) → \( a = 0 \) 2. Para \( x \): \( a^2 + 1 - 4a = 1 \) → \( 0^2 + 1 - 0 = 1 \) (confere) 3. Para a constante: \( 2(a^2 + 1) = 2 \) → \( 2(0 + 1) = 2 \) (confere) Assim, o valor de \( a \) é \( 0 \). Portanto, a alternativa correta é: D a = 0.