Questão 1/10 - Equações Diferenciais +) Ler em voz Dada uma equação diferencial no formato y' + P(x)y= = R(x), utilize 0 fator integrante µ(x) = ef P(

Question

Questão 1/10 - Equações Diferenciais +) Ler em voz Dada uma equação diferencial no formato y' + P(x)y= = R(x), utilize 0 fator integrante µ(x) = ef P(z)dz = P(z)dz para resolver a equação diferencial y' + 5y = 25. OA 4) y= (5g²)/2+(25x²)/2+C B 4) y=-5x+1+Ce⁻⁵² OC 4) y=5x-1-Ce⁻⁵² D 4) y=-5+Ce⁻⁵²

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial dada $ y' + 5y = 25 $ usando o fator integrante, vamos seguir os passos:

1. Identificamos $ P(x) = 5 $ e $ R(x) = 25 $.
2. Calculamos o fator integrante $ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 5 \, dx} = e^{5x} $.
3. Multiplicamos toda a equação pela $ \mu(x) $:
   $$
   e^{5x}y' + 5e^{5x}y = 25e^{5x}
   $$
4. A equação se torna:
   $$
   \frac{d}{dx}(e^{5x}y) = 25e^{5x}
   $$
5. Integrando ambos os lados:
   $$
   e^{5x}y = \int 25e^{5x} \, dx = 5e^{5x} + C
   $$
6. Isolando $ y $:
   $$
   y = 5 + Ce^{-5x}
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) $ y = \frac{5g^2}{2} + \frac{25x^2}{2} + C $ - Não é a solução correta.
B) $ y = -5x + 1 + Ce^{-5x} $ - Não é a solução correta.
C) $ y = 5x - 1 - Ce^{-5x} $ - Não é a solução correta.
D) $ y = -5 + Ce^{-5x} $ - Esta é a forma correta da solução.

Portanto, a alternativa correta é: **D) y = -5 + Ce^{-5x}**.

Equações Diferenciais

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