Determinar a área da região limitada pelas curvas: y= √2x e y = 1 Clique na sua resposta abaixo 2/3 7/3 8/3 2/3 5/3

Para determinar a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{2x} \) e \( y = 1 \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções: \[ \sqrt{2x} = 1 \] Elevando ao quadrado: \[ 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \] 2. Determinar os limites de integração: As curvas se interceptam em \( x = 0 \) (onde \( y = 0 \)) e \( x = \frac{1}{2} \). 3. Calcular a área: A área \( A \) entre as curvas é dada por: \[ A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (y_{\text{superior}} - y_{\text{inferior}}) \, dx \] Aqui, \( y_{\text{superior}} = 1 \) e \( y_{\text{inferior}} = \sqrt{2x} \): \[ A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - \sqrt{2x}) \, dx \] 4. Calcular a integral: \[ A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 \, dx - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{2x} \, dx \] A primeira integral é: \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \] A segunda integral: \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{2x} \, dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (2x)^{1/2} \, dx = \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{1/2} \, dx = \sqrt{2} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{3} \] 5. Substituir na fórmula da área: \[ A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \] Portanto, a área da região limitada pelas curvas é \( \frac{1}{6} \). Parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois a área correta não está entre as opções listadas. Se precisar de mais ajuda, estou à disposição!