Encontre, por integração dupla, a área da região no plano xy, limitada pelas curvas y = x2 e y= 4x -x2. A ) 7/3 B ) 4/5 C ) 8/3 D ) 5/3

Para encontrar a área da região limitada pelas curvas \(y = x^2\) e \(y = 4x - x^2\), precisamos primeiro determinar os pontos de interseção dessas duas curvas. 1. Igualar as funções: \[ x^2 = 4x - x^2 \] \[ 2x^2 - 4x = 0 \] \[ 2x(x - 2) = 0 \] Os pontos de interseção são \(x = 0\) e \(x = 2\). 2. Configurar a integral: A área entre as curvas de \(x = 0\) a \(x = 2\) é dada por: \[ A = \int_{0}^{2} ((4x - x^2) - x^2) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) \, dx \] 3. Calcular a integral: \[ A = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} \] Avaliando nos limites: \[ A = \left( 2(2^2) - \frac{2}{3}(2^3) \right) - \left( 2(0^2) - \frac{2}{3}(0^3) \right) \] \[ A = \left( 8 - \frac{16}{3} \right) = \left( \frac{24}{3} - \frac{16}{3} \right) = \frac{8}{3} \] Portanto, a área da região é \(\frac{8}{3}\). A alternativa correta é: C) 8/3.