Para resolver a integral tripla dada, precisamos primeiro entender a região \( V \) que está sendo integrada. A região é a interseção do cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) e as condições \( 0 \leq z \leq 2 \), além de \( x \geq 0 \) e \( y \geq 0 \). 1. Identificação da região: O cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) é um cilindro circular de raio 1, e estamos considerando apenas a parte onde \( x \) e \( y \) são não negativos, ou seja, o primeiro quadrante. A altura \( z \) varia de 0 a 2. 2. Mudança para coordenadas cilíndricas: Podemos usar coordenadas cilíndricas, onde \( x = r \cos(\theta) \), \( y = r \sin(\theta) \), e \( z = z \). Assim, a integral se torna mais simples. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é \( r \, dr \, d\theta \, dz \). 3. Limites de integração: - Para \( r \): de 0 a 1 (raio do cilindro). - Para \( \theta \): de 0 a \( \frac{\pi}{2} \) (primeiro quadrante). - Para \( z \): de 0 a 2. 4. Integral: A função a ser integrada é \( 3(x + y) = 3(r \cos(\theta) + r \sin(\theta)) = 3r(\cos(\theta) + \sin(\theta)) \). A integral se torna: \[ \int_0^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 3r(\cos(\theta) + \sin(\theta)) \cdot r \, dr \, d\theta \, dz \] 5. Cálculo da integral: - A integral em \( r \) é: \[ \int_0^1 3r^2(\cos(\theta) + \sin(\theta)) \, dr = 3(\cos(\theta) + \sin(\theta)) \cdot \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 = \cos(\theta) + \sin(\theta) \] - Agora, integramos em \( \theta \): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos(\theta) + \sin(\theta)) \, d\theta = \left[\sin(\theta) - \cos(\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 + 1 = 2 \] - Finalmente, integramos em \( z \): \[ \int_0^2 2 \, dz = 2z \bigg|_0^2 = 4 \] Portanto, o valor da integral é 4. A alternativa correta é: D) 4.