Para calcular o volume do sólido limitado pelo plano \( z = 0 \) e pelo parabolóide \( z = 1 - x^2 - y^2 \), podemos usar coordenadas polares, pois a base do parabolóide é circular. 1. Identificar a equação do parabolóide: \( z = 1 - x^2 - y^2 \). 2. Encontrar a interseção com o plano \( z = 0 \): \[ 1 - x^2 - y^2 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1. \] Isso nos dá um círculo de raio 1. 3. Usar coordenadas polares: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \] onde \( r \) varia de 0 a 1 e \( \theta \) varia de 0 a \( 2\pi \). 4. Volume em coordenadas polares: O volume \( V \) é dado por: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1 - r^2) r \, dr \, d\theta. \] 5. Calcular a integral: - Primeiro, calcule a integral em \( r \): \[ \int_0^1 (1 - r^2) r \, dr = \int_0^1 (r - r^3) \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. \] - Agora, calcule a integral em \( \theta \): \[ V = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}. \] Portanto, o volume do sólido é \( \frac{\pi}{2} \). Analisando as alternativas, a resposta correta é: c) 2.