Para determinar o volume do sólido delimitado pelo parabolóide \( z = 16 - x^2 - 2y^2 \) acima do quadrado \( R = [0, 2] \times [0, 2] \), precisamos calcular a integral dupla da função \( z \) sobre a região \( R \). O volume \( V \) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (16 - x^2 - 2y^2) \, dA \] onde \( dA = dx \, dy \). Os limites de integração para \( x \) e \( y \) são de 0 a 2, já que estamos integrando sobre o quadrado \( R \). Assim, a integral fica: \[ V = \int_0^2 \int_0^2 (16 - x^2 - 2y^2) \, dy \, dx \] Vamos calcular a integral: 1. Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ \int_0^2 (16 - x^2 - 2y^2) \, dy = \left[ 16y - x^2y - \frac{2y^3}{3} \right]_0^2 \] Substituindo os limites: \[ = \left( 16(2) - x^2(2) - \frac{2(2)^3}{3} \right) - 0 \] \[ = 32 - 2x^2 - \frac{16}{3} \] \[ = 32 - 2x^2 - \frac{16}{3} = \frac{96}{3} - \frac{16}{3} - 2x^2 = \frac{80}{3} - 2x^2 \] 2. Agora, integramos em relação a \( x \): \[ V = \int_0^2 \left( \frac{80}{3} - 2x^2 \right) \, dx \] \[ = \left[ \frac{80}{3}x - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 \] \[ = \left( \frac{80}{3}(2) - \frac{2(2)^3}{3} \right) - 0 \] \[ = \frac{160}{3} - \frac{16}{3} = \frac{144}{3} = 48 \] Portanto, o volume do sólido é \( 48 \). A resposta correta é: C) 48.