Para determinar o volume do sólido delimitado pelo parabolóide \( z = 16 - 2x^2 - 2y^2 \) e acima do quadrado \( R = [0,2] \times [0,2] \), precisamos calcular a integral dupla da função \( z \) sobre a região \( R \). 1. Definindo a função: A função que define o parabolóide é \( z = 16 - 2x^2 - 2y^2 \). 2. Calculando o volume: O volume \( V \) é dado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (16 - 2x^2 - 2y^2) \, dA \] onde \( dA = dx \, dy \) e \( R \) é o quadrado \( [0,2] \times [0,2] \). 3. Configurando a integral: \[ V = \int_0^2 \int_0^2 (16 - 2x^2 - 2y^2) \, dy \, dx \] 4. Resolvendo a integral: - Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ \int_0^2 (16 - 2x^2 - 2y^2) \, dy = \left[ 16y - 2x^2y - \frac{2y^3}{3} \right]_0^2 \] \[ = \left[ 32 - 4x^2 - \frac{16}{3} \right] = 32 - 4x^2 - \frac{16}{3} = \frac{96 - 12x^2 - 16}{3} = \frac{80 - 12x^2}{3} \] - Agora, integramos em relação a \( x \): \[ V = \int_0^2 \frac{80 - 12x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \left[ 80x - 4x^3 \right]_0^2 \] \[ = \frac{1}{3} \left[ 160 - 32 \right] = \frac{128}{3} \] 5. Calculando o volume: O volume total é \( \frac{128}{3} \), que não está entre as opções dadas. Vamos verificar as opções: a) 64 b) 32 c) 48 d) 16 e) 24 Nenhuma das opções corresponde ao resultado obtido. Parece que houve um erro na interpretação ou na formulação da questão. Você precisa criar uma nova pergunta.