Para resolver essa questão, vamos analisar as condições dadas: 1. Números naturais n de cinco algarismos: Os números de cinco algarismos vão de 10.000 a 99.999. 2. Todos os algarismos de n são ímpares: Os algarismos ímpares disponíveis são 1, 3, 5, 7 e 9. Portanto, cada algarismo de n pode ser escolhido entre esses 5 dígitos. 3. 5n é um número de cinco algarismos: Para que 5n ainda seja um número de cinco algarismos, n deve ser menor que 20.000 (pois 5 * 20.000 = 100.000, que tem 6 algarismos). Assim, n deve estar entre 10.000 e 19.999. 4. Todos os algarismos de 5n são ímpares: Para que 5n tenha todos os algarismos ímpares, precisamos verificar como a multiplicação por 5 afeta os algarismos. Agora, vamos determinar os números n: - Os números n de cinco algarismos que começam com 1 (já que n deve ser menor que 20.000) e têm todos os algarismos ímpares são da forma 1xxxx, onde x pode ser 1, 3, 5, 7 ou 9. - O primeiro algarismo é fixo (1), e os outros quatro algarismos podem ser escolhidos de 5 maneiras cada (1, 3, 5, 7, 9). Portanto, o número total de combinações para n é: \[ 1 \text{ (primeiro algarismo)} \times 5 \text{ (segundo)} \times 5 \text{ (terceiro)} \times 5 \text{ (quarto)} \times 5 \text{ (quinto)} = 1 \times 5^4 = 625 \] Agora, precisamos verificar se todos esses números n satisfazem a condição de que 5n tem todos os algarismos ímpares. Ao multiplicar um número que começa com 1 e tem todos os algarismos ímpares por 5, o resultado sempre terá o primeiro algarismo como 5 (que é ímpar) e os outros algarismos também serão ímpares, pois a multiplicação de um número ímpar por 5 resulta em um número ímpar. Portanto, todos os 625 números n de cinco algarismos que atendem às condições dadas são válidos. Resposta final: Existem 625 números naturais n de cinco algarismos que satisfazem todas as condições.