Para determinar a direção de maior crescimento da função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) no ponto \( P(1,2) \), precisamos calcular o gradiente da função. 1. Calcular as derivadas parciais: - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \) 2. Formar o vetor gradiente: - \( \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x, 2y) \) 3. Avaliar o gradiente no ponto \( P(1,2) \): - \( \nabla f(1,2) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4) \) 4. Direção de maior crescimento: - A direção de maior crescimento é dada pelo vetor gradiente \( (2, 4) \). 5. Direção unitária: - Para encontrar a direção unitária, calculamos a norma do vetor gradiente: \[ ||\nabla f(1,2)|| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] - A direção unitária é: \[ \hat{u} = \left( \frac{2}{2\sqrt{5}}, \frac{4}{2\sqrt{5}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \] Portanto, a direção de maior crescimento da função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) no ponto \( P(1,2) \) é dada pelo vetor gradiente \( (2, 4) \) e a direção unitária correspondente é \( \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \).