O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função f(x,y), o vetor gradiente é o vetor f(x,y) = (fx(x,y), f(x,y)). Dado um ponto P(x,yo), o vetor gradiente da função ƒ no ponto Pé obtido por meio da seguinte expressão Vf(xo,yo) = (fx(xo, yo), fy(xoyo)). Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função f(x,y) = y sen(xy) no ponto P(1,π).

Question

O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função f(x,y), o vetor gradiente é o vetor f(x,y) = (fx(...

Ed · Answer

Para encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) = y \sen(xy) $ no ponto $ P(1, \pi) $, precisamos calcular as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $.

1. **Cálculo da derivada parcial em relação a $ x $**:
   $$
   f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(y \sen(xy)) = y^2 \cos(xy)
   $$

2. **Cálculo da derivada parcial em relação a $ y $**:
   $$
   f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(y \sen(xy)) = \sen(xy) + xy \cos(xy)
   $$

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P(1, \pi) $:

- Para $ f_x(1, \pi) $:
   $$
   f_x(1, \pi) = \pi^2 \cos(1 \cdot \pi) = \pi^2 \cdot (-1) = -\pi^2
   $$

- Para $ f_y(1, \pi) $:
   $$
   f_y(1, \pi) = \sen(1 \cdot \pi) + 1 \cdot \pi \cos(1 \cdot \pi) = 0 + \pi \cdot (-1) = -\pi
   $$

Portanto, o vetor gradiente $ \nabla f(1, \pi) $ é:
$$
\nabla f(1, \pi) = (f_x(1, \pi), f_y(1, \pi)) = (-\pi^2, -\pi)
$$

Assim, a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função $ f(x, y) = y \sen(xy) $ no ponto $ P(1, \pi) $ é:
$$
(-\pi^2, -\pi)
$$

Cálculo Vetorial

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