Para que as raízes do polinômio \( p(x) = x^2 + 2(n+2)x + 9n \) sejam iguais, o discriminante deve ser igual a zero. O discriminante \( \Delta \) de um polinômio do segundo grau \( ax^2 + bx + c \) é dado por: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] No seu caso, temos: - \( a = 1 \) - \( b = 2(n+2) \) - \( c = 9n \) Substituindo na fórmula do discriminante: \[ \Delta = [2(n+2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9n \] Calculando: \[ \Delta = 4(n+2)^2 - 36n \] Expandindo \( (n+2)^2 \): \[ \Delta = 4(n^2 + 4n + 4) - 36n \] \[ \Delta = 4n^2 + 16n + 16 - 36n \] \[ \Delta = 4n^2 - 20n + 16 \] Para que as raízes sejam iguais, devemos ter \( \Delta = 0 \): \[ 4n^2 - 20n + 16 = 0 \] Dividindo toda a equação por 4: \[ n^2 - 5n + 4 = 0 \] Agora, podemos fatorar: \[ (n - 1)(n - 4) = 0 \] Portanto, as soluções são: \[ n = 1 \quad \text{ou} \quad n = 4 \] Assim, os valores de \( n \) que fazem com que as raízes de \( p(x) = 0 \) sejam iguais são 1 e 4. A alternativa correta é: a) 1 e 4.