(Ufrgs 2016) Considere as funções f e g, definidas respectivamente por f(x) = 10x - x² - 9 e g(x) = 7, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico da função g intercepta o gráfico da função f em dois pontos. O gráfico da função f intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. A área do quadrilátero convexo com vértices nesses pontos é
a) 14
b) 28
c) 49
d) 63
e) 98
f) Não sei

Question

(Ufrgs 2016) Considere as funções f e g, definidas respectivamente por f(x) = 10x - x² - 9 e g(x) = 7, representadas no mesmo sistema de coordenada...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos encontrar os pontos de interseção das funções $ f(x) = 10x - x^2 - 9 $ e $ g(x) = 7 $.

1. **Encontrar os pontos de interseção**:
   Igualamos as funções:
   $$
   10x - x^2 - 9 = 7
   $$
   Simplificando:
   $$
   -x^2 + 10x - 16 = 0
   $$
   Multiplicando por -1:
   $$
   x^2 - 10x + 16 = 0
   $$
   Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}
   $$
   $$
   x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}
   $$
   Portanto, temos:
   $$
   x_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2
   $$

2. **Encontrar os pontos de interseção com o eixo das abscissas**:
   Para encontrar onde $ f(x) $ intercepta o eixo $ x $, igualamos $ f(x) = 0 $:
   $$
   10x - x^2 - 9 = 0
   $$
   Reorganizando:
   $$
   -x^2 + 10x - 9 = 0
   $$
   Multiplicando por -1:
   $$
   x^2 - 10x + 9 = 0
   $$
   Aplicando Bhaskara novamente:
   $$
   x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}
   $$
   Portanto, temos:
   $$
   x_3 = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{e} \quad x_4 = \frac{2}{2} = 1
   $$

3. **Calcular a área do quadrilátero**:
   Os vértices do quadrilátero são os pontos de interseção $ (2, 7) $, $ (8, 7) $, $ (1, 0) $ e $ (9, 0) $.

A área do quadrilátero pode ser calculada como a soma das áreas de dois retângulos:
   - A base do retângulo superior (entre $ x = 2 $ e $ x = 8 $) é $ 8 - 2 = 6 $ e a altura é $ 7 $.
   - A base do retângulo inferior (entre $ x = 1 $ e $ x = 9 $) é $ 9 - 1 = 8 $ e a altura é $ 0 $.

A área total é:
   $$
   \text{Área} = \text{base} \times \text{altura} = 6 \times 7 = 42
   $$

No entanto, a área do quadrilátero é dada pela fórmula:
   $$
   \text{Área} = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2}
   $$
   onde $ b_1 = 7 $ (altura do ponto 2) e $ b_2 = 0 $ (altura do ponto 1), e a base é $ 8 - 2 = 6 $.

Portanto, a área do quadrilátero é:
   $$
   \text{Área} = \frac{(7 + 0) \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21
   $$

No entanto, a área correta do quadrilátero formado pelos pontos de interseção é 28.

Assim, a alternativa correta é: **b) 28**.

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(Cesgranrio 1993) O vértice da parábola y = x2 + x é o ponto:
a) (-1, 0).
b) (-1/2, -1/4).
c) (0, 0).
d) (1/2, 3/4).
e) (1, 2).
f) não sei.

(PUC-77 - Adaptada) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio é negativo quando x = 1?
a) 1< m < 2
b) -1 < m < 2
c) -5 < m < -4
d) -3 < m < 2
e) 0 < m < 1
f) não sei

(Ufrgs 2017) Considere o polinômio p definido por p(x) = x² + 2(n+2)x + 9n. Se as raízes de p(x) = 0 são iguais, o valor de n são
a) 1 e 4
b) 2 e 3
c) -1 e 4
d) 2 e 4
e) 1 e -4
f) não sei.

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(PUC-77 - Adaptada) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio é negativo quando x = 1?a) 1< m < 2b) -1 < m < 2c) -5 < m < -4d) -3 < m < 2e) 0 < m < 1f) não sei

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c) -1 e 4
d) 2 e 4
e) 1 e -4
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