Vamos analisar a função \( f(x) = 4x^3 - 9x^2 + 5x \) e suas derivadas. 1. Derivada: A derivada da função é dada por: \[ f'(x) = 12x^2 - 18x + 5 \] Portanto, a afirmação \( f'(x) = 4x^2 - 9x + 5 \) está incorreta. 2. Continuidade e Derivabilidade: A função \( f(x) \) é um polinômio, e polinômios são contínuos e deriváveis em todo o seu domínio, incluindo o intervalo \([0, 1]\). 3. Teorema de Rolle: Para aplicar o Teorema de Rolle, precisamos verificar se \( f(0) = f(1) \): \[ f(0) = 4(0)^3 - 9(0)^2 + 5(0) = 0 \] \[ f(1) = 4(1)^3 - 9(1)^2 + 5(1) = 4 - 9 + 5 = 0 \] Como \( f(0) = f(1) \), o Teorema de Rolle garante que existe pelo menos um ponto \( c \) em \( (0, 1) \) tal que \( f'(c) = 0 \). Portanto, a alternativa correta é: "Pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos um ponto de \( f(x) \) em \([0,1]\), tal que \( f'(x) = 0 \)."