Para calcular o divergente da função vetorial \( \mathbf{F} = (x, y, z) = \tan(z) \mathbf{i} + e \ln(z) \mathbf{j} + \sin(z) \mathbf{k} \), precisamos aplicar a definição de divergente em coordenadas cartesianas, que é dada por: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} \] onde \( F_1 = \tan(z) \), \( F_2 = e \ln(z) \) e \( F_3 = \sin(z) \). Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial F_1}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\tan(z)) = 0 \) (pois \( \tan(z) \) não depende de \( x \)). 2. \( \frac{\partial F_2}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e \ln(z)) = 0 \) (pois \( e \ln(z) \) não depende de \( y \)). 3. \( \frac{\partial F_3}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(\sin(z)) = \cos(z) \). Agora, somamos as derivadas: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = 0 + 0 + \cos(z) = \cos(z) \] Portanto, o divergente da função \( \mathbf{F} \) é \( \cos(z) \). Analisando as alternativas: a. \( V.F = \ln(y) \) - Falso b. \( V.F = 0 \) - Falso c. \( V.F = \csc^2(z) \) - Falso d. \( V.F = e^x + \csc(z) \) - Falso e. \( V.F = \cos(z) \) - Verdadeiro A alternativa correta é: e. V.F = \cos(z).