Para encontrar a primitiva \( F(x) \) da função \( f(x) = x^3 + x \), precisamos calcular a integral indefinida: \[ F(x) = \int (x^3 + x) \, dx \] Calculando a integral: 1. A primitiva de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). 2. A primitiva de \( x \) é \( \frac{x^2}{2} \). Portanto, temos: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Agora, precisamos determinar a constante \( C \) usando a condição \( F(1) = 6 \): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{1^2}{2} + C = 6 \] Calculando: \[ F(1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + C = 6 \] Convertendo \( \frac{1}{2} \) para fração com denominador 4: \[ F(1) = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + C = 6 \] \[ \frac{3}{4} + C = 6 \] Subtraindo \( \frac{3}{4} \) de ambos os lados: \[ C = 6 - \frac{3}{4} = \frac{24}{4} - \frac{3}{4} = \frac{21}{4} \] Assim, a primitiva é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + \frac{21}{4} \] Agora, vamos verificar as alternativas: A) \( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} + \frac{25}{4} \) B) \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + \frac{21}{4} \) C) \( \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + \frac{23}{4} \) D) \( \frac{x^3}{43} + \frac{x^2}{2} + \frac{20}{4} \) E) \( \frac{x^3}{3} + x^3 + \frac{1}{3} \) A alternativa correta é a B: \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + \frac{21}{4} \).