Para resolver a integral dupla dada, precisamos primeiro entender a região \( R \) e a função a ser integrada. A região \( R \) é limitada pelos círculos \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( x^2 + y^2 = 4 \), que correspondem a um anel entre os círculos de raio 1 e raio 2 no semiplano superior. Ao usar coordenadas polares, temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - O elemento de área em coordenadas polares é \( dA = r \, dr \, d\theta \). A função a ser integrada se torna: \[ 3x + 4y^2 = 3(r \cos(\theta)) + 4(r \sin(\theta))^2 = 3r \cos(\theta) + 4r^2 \sin^2(\theta) \] A integral dupla em coordenadas polares será: \[ \int_0^{\pi} \int_1^2 \left(3r \cos(\theta) + 4r^2 \sin^2(\theta)\right) r \, dr \, d\theta \] Agora, vamos calcular a integral: 1. Integral em \( r \): \[ \int_1^2 \left(3r^2 \cos(\theta) + 4r^3 \sin^2(\theta)\right) \, dr \] - Para \( 3r^2 \cos(\theta) \): \[ \int_1^2 3r^2 \, dr = 3 \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \left[8 - 1\right] = 7 \cos(\theta) \] - Para \( 4r^3 \sin^2(\theta) \): \[ \int_1^2 4r^3 \, dr = 4 \left[\frac{r^4}{4}\right]_1^2 = \left[16 - 1\right] = 15 \sin^2(\theta) \] Portanto, a integral em \( r \) resulta em: \[ 7 \cos(\theta) + 15 \sin^2(\theta) \] 2. Integral em \( \theta \): \[ \int_0^{\pi} (7 \cos(\theta) + 15 \sin^2(\theta)) \, d\theta \] - A integral de \( 7 \cos(\theta) \) de \( 0 \) a \( \pi \) é zero, pois a função é simétrica e se anula. - A integral de \( 15 \sin^2(\theta) \) de \( 0 \) a \( \pi \) é: \[ 15 \int_0^{\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta = 15 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{2} \] Assim, o valor da integral dupla é: \[ \frac{15\pi}{2} \] Portanto, a alternativa correta é: e) \(\frac{15\pi}{2}\)