Para resolver a equação diferencial \( y'' + 4y' + 13y = 0 \), precisamos primeiro encontrar a solução da equação característica associada, que é dada por: \[ r^2 + 4r + 13 = 0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 \] Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas. As raízes são: \[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = -2 \pm 3i \] Assim, a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(x) = e^{-2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes reais. Agora, analisando as alternativas apresentadas: 1. \( ae^{-3x} + be^{-2x} \) 2. \( a \cos(3x) + b \sin(3x) \) 3. \( ae^{-2x} \cos(3x) + be^{-2x} \sin(3x) \) 4. \( ae^{-2x} + bxe^{-2x} \) 5. \( a \cos(2x) + b \sin(2x) \) A alternativa que corresponde à solução geral que encontramos é: 3. \( ae^{-2x} \cos(3x) + be^{-2x} \sin(3x) \) Portanto, a resposta correta é a alternativa 3.