eja f:Z²→Z² definida por f((x,y)) = ((x-y,0), podemos afirmar que f. a. é homomorfismo do grupo aditivo Z² em si próprio e o N(f)= {(x,y} ∈ Z² I x=y}. b. não é um homomorfismo de grupos e a Im f={(x,y) ∈ Z² I x= -y}. c. é um homomorfismo do grupo aditivo Z² em si próprio e a Im f={(x,y) ∈ Z² I x=y}. d. é um homomorfismo do grupo aditivo Z² em si próprio e a Im f={(x,y) ∈ Z² I x=y-1}. e. não é um homomorfismo de grupos e a Im f={(x,y) ∈ Z² I y=0}.

Question

eja f:Z²→Z² definida por f((x,y)) = ((x-y,0), podemos afirmar que f. a. é homomorfismo do grupo aditivo Z² em si próprio e o N(f)= {(x,y} ∈ Z² I x=...

Ed · Answer

Para determinar se a função $ f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2 $ definida por $ f((x,y)) = (x-y, 0) $ é um homomorfismo do grupo aditivo $ \mathbb{Z}^2 $ em si próprio, precisamos verificar se ela preserva a operação de adição.

1. **Verificação de homomorfismo**:
   Para $ f $ ser um homomorfismo, deve-se ter:
   $$
   f((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = f((x_1 + x_2, y_1 + y_2))
   $$
   Calculando o lado esquerdo:
   $$
   f((x_1 + x_2, y_1 + y_2)) = ( (x_1 + x_2) - (y_1 + y_2), 0 ) = (x_1 - y_1 + x_2 - y_2, 0)
   $$
   Agora, o lado direito:
   $$
   f((x_1, y_1)) + f((x_2, y_2)) = (x_1 - y_1, 0) + (x_2 - y_2, 0) = ( (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2), 0 )
   $$
   Como ambos os lados são iguais, $ f $ é um homomorfismo.

2. **Núcleo de $ f $**:
   O núcleo $ N(f) $ é dado por:
   $$
   N(f) = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid f((x,y)) = (0,0)\}
   $$
   Isso implica que:
   $$
   (x-y, 0) = (0, 0) \implies x - y = 0 \implies x = y
   $$
   Portanto, $ N(f) = \{(x,x) \mid x \in \mathbb{Z}\} $.

3. **Imagem de $ f $**:
   A imagem $ \text{Im}(f) $ é dada por todos os valores que $ f $ pode assumir. Como $ f((x,y)) = (x-y, 0) $, a imagem é:
   $$
   \text{Im}(f) = \{(a, 0) \mid a \in \mathbb{Z}\} = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid y = 0\}
   $$

Agora, analisando as alternativas:
a) É um homomorfismo e $ N(f) = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid x = y\} $ - Correto sobre o homomorfismo, mas o núcleo está incorreto.
b) Não é um homomorfismo e $ \text{Im}(f) = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid x = -y\} $ - Incorreto.
c) É um homomorfismo e $ \text{Im}(f) = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid x = y\} $ - Incorreto sobre a imagem.
d) É um homomorfismo e $ \text{Im}(f) = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid x = y-1\} $ - Incorreto sobre a imagem.
e) Não é um homomorfismo e $ \text{Im}(f) = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid y = 0\} $ - Incorreto sobre o homomorfismo.

A alternativa correta é que $ f $ é um homomorfismo do grupo aditivo $ \mathbb{Z}^2 $ em si próprio, e a imagem é $ \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid y = 0\} $, mas nenhuma das alternativas reflete isso corretamente. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.

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