1. Considere os elementos de S4: id, f₁ = (1234), f2 = (13)(24), e f₃ = (1432). Mostre que {id,f₁,f₂,f₃} é um grupo, com a operação composição. É abeliano? 2. (a) Seja G um grupo abeliano e considere O subconjunto T(G) = {a G : o(a) < ∞}. Mostre que T(G) é um subgrupo de G. (b) Seja G O grupo multiplicativo das matrizes 2 x 2 invertíveis com entradas racionais. Mostre que a = (i⁻¹) -1 tem ordem 4, b = ( -1 0 -1 1 ) tem ordem 3, e ab tem ordem infinita. Por que este exemplo não contradiz O item (a)? 3. Seja G um grupo e H G, H 0. Mostre que: H é um subgrupo de G se, e somente se, h₁h⁻¹ E H, para todos h₁, h₂ E H. 4. Prove que se Gé um grupo finito de ordem par, então G contém um elemento a # e tal que a² =e. 5. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique. (a) Todo grupo cíclico é abeliano. (b) Todo grupo abeliano é cíclico.