Dada a função f(x, y) = x³y+x²y4, determine suas derivadas parciais de 2ª ordem.

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função \( f(x, y) = x^3 y + x^2 y^4 \) passo a passo. 1. Derivadas parciais de primeira ordem: - \(\frac{\partial f}{\partial x}\): \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^3 y) = 3x^2 y \] \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^4) = 2x y^4 \] Logo, \[ f_x = 3x^2 y + 2x y^4 \] - \(\frac{\partial f}{\partial y}\): \[ \frac{\partial}{\partial y}(x^3 y) = x^3 \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y^4) = 4x^2 y^3 \] Logo, \[ f_y = x^3 + 4x^2 y^3 \] 2. Derivadas parciais de segunda ordem: - \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(f_x)\): \[ \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 y) = 6x y \] \[ \frac{\partial}{\partial x}(2x y^4) = 2 y^4 \] Logo, \[ f_{xx} = 6x y + 2 y^4 \] - \(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(f_y)\): \[ \frac{\partial}{\partial y}(x^3) = 0 \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(4x^2 y^3) = 12 x^2 y^2 \] Logo, \[ f_{yy} = 12 x^2 y^2 \] - Derivadas mistas: \[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_x) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 y + 2x y^4) = 3x^2 + 8x y^3 \] \[ f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(f_y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + 4x^2 y^3) = 3x^2 + 8x y^3 \] Observação: \( f_{xy} = f_{yx} \), como esperado. Resposta final: \[ f_{xx} = 6x y + 2 y^4 \] \[ f_{yy} = 12 x^2 y^2 \] \[ f_{xy} = f_{yx} = 3x^2 + 8x y^3 \]