Dada a função f(x, y) = x³y+x²y1, determine suas derivadas parciais de 2ª ordem. Unigran

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função \( f(x, y) = x^3 y + x^2 y \). 1. Derivadas parciais de primeira ordem: \[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 y + x^2 y) = 3x^2 y + 2x y = y(3x^2 + 2x) \] \[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 y + x^2 y) = x^3 + x^2 = x^2 (x + 1) \] 2. Derivadas parciais de segunda ordem: \[ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (f_x) = \frac{\partial}{\partial x} [y(3x^2 + 2x)] = y (6x + 2) \] \[ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (f_y) = \frac{\partial}{\partial y} [x^2 (x + 1)] = 0 \quad \text{(pois não depende de } y) \] \[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} (f_x) = \frac{\partial}{\partial y} [y(3x^2 + 2x)] = 3x^2 + 2x \] \[ f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} (f_y) = \frac{\partial}{\partial x} [x^2 (x + 1)] = 2x (x + 1) + x^2 (1) = 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x \] Observação: \( f_{xy} = f_{yx} \), como esperado. Resposta final: \[ f_{xx} = y (6x + 2) \] \[ f_{yy} = 0 \] \[ f_{xy} = f_{yx} = 3x^2 + 2x \]