Dada a função z = x4-3x³y+6xy² -4xy-6y4+2, determine as derivadas parciais de 2ª ordem

Claro! Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função \( z = x^4 - 3x^3 y + 6 x y^2 - 4 x y - 6 y^4 + 2 \). Passo 1: Derivadas parciais de primeira ordem - Derivada parcial em relação a \(x\): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 - 9x^2 y + 6 y^2 - 4 y \] - Derivada parcial em relação a \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -3 x^3 + 12 x y - 4 x - 24 y^3 \] Passo 2: Derivadas parciais de segunda ordem - Segunda derivada em relação a \(x\): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = 12 x^2 - 18 x y \] - Segunda derivada mista \(\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\): \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = -9 x^2 + 12 y - 4 \] - Segunda derivada mista \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\) (deve ser igual à anterior): \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = -9 x^2 + 12 y - 4 \] - Segunda derivada em relação a \(y\): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = 12 x - 72 y^2 \] Resumo: \[ \boxed{ \begin{cases} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12 x^2 - 18 x y \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 12 x - 72 y^2 \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -9 x^2 + 12 y - 4 \end{cases} } \] Se precisar de mais ajuda, é só falar!