Vamos calcular a derivada da função complexa \( J(z) = \frac{z+1}{z} \). Podemos reescrever \( J(z) \) como: \[ J(z) = \frac{z+1}{z} = \frac{z}{z} + \frac{1}{z} = 1 + z^{-1} \] Agora, derivando termo a termo: \[ J'(z) = 0 + (-1) z^{-2} = -\frac{1}{z^2} \] Ou seja, a derivada é: \[ J'(z) = -\frac{1}{z^2} \] Analisando as alternativas: - A) \( J'(z) = \frac{(z+1)(z) - (z+1)}{...} \) — parece uma tentativa de usar a regra do quociente, mas está incompleta. - B) \( J''(z) = (z+1) - z - \frac{1}{z^2} \) — confuso e não corresponde à derivada correta. - C) \( J'(z) = \frac{z - (z+1)}{z^2} = \frac{z - z -1}{z^2} = -\frac{1}{z^2} \) — corresponde exatamente ao resultado correto. - D) \( J'(z) = \frac{z - (z+1)}{(z^2 + 2z +1)} \) — denominador errado. - E) \( J'(z) = z^2 + z + 1 \) — não faz sentido para essa função. Portanto, a alternativa correta é a C.